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Resumo

1. Notação

Num campeonato de pontos corridos com n times, cada time i tem quatro taxas de gols por jogo:

• θ_i^FM e θ_i^SM: gols feitos e sofridos por i como mandante;
• θ_i^FV e θ_i^SV: gols feitos e sofridos por i como visitante.

No jogo h (mandante) × a (visitante), X e Y são os gols de h e de a. Depois de r rodadas, s é a soma dos gols numa das quatro situações e n_c o número de jogos nela (cerca de r/2). m é a média da liga na temporada anterior (1,53 gol do mandante e 1,00 do visitante em 2025).

2. Modelo 1 — Média Poisson (dissertação, 2019)

Definição 1 (equações 28 a 31 da dissertação). Antes da primeira rodada, todos os times recebem as médias do campeonato anterior, como na dissertação (em 2018: 1,38 e 1,04). Essa média inicial entra na soma como a rodada 0 (o termo i = 0), e por isso o denominador tem “+ 1”:

$${\hat{\theta }}_i^{\mathrm{FM}}=\frac{s+1·m_M}{n_c+1}$$

e o mesmo para SM, FV e SV. Os gols do jogo são Poisson independentes com a média das duas médias que falam do mesmo número:

$$X\sim \text{Poisson}\left(\frac{{\hat{\theta }}_h^{\mathrm{FM}}+{\hat{\theta }}_a^{\mathrm{SV}}}{2}\right),Y\sim \text{Poisson}\left(\frac{{\hat{\theta }}_h^{\mathrm{SM}}+{\hat{\theta }}_a^{\mathrm{FV}}}{2}\right)$$

Pela independência, P(X = x, Y = y) = P(X = x)·P(Y = y), e as chances de vitória, empate e derrota são somas dessa tabela (abaixo, acima e na diagonal). A dissertação agrupa “5 ou mais” gols numa classe; o laboratório soma até 30 gols, o que muda as probabilidades em menos de 10⁻⁴. Esse modelo é o “Média Poisson” do seletor no topo.

3. Por que tirar a média e manter a Poisson

Proposição 1 (soma de Poissons). Se A ∼ Poisson(α) e B ∼ Poisson(β) são independentes, então A + B ∼ Poisson(α + β).

Demonstração. A função geradora de probabilidades da Poisson(λ) é G(z) = E[z^N] = e^λ(z−1). Pela independência, E[z^A+B] = e^α(z−1)e^β(z−1) = e^{(α+β)(z−1)}, que é a geradora da Poisson(α + β). ∎

Proposição 2 (afinamento binomial). Se S ∼ Poisson(λ) e, dado S, G ∼ Binomial(S, ½), então G ∼ Poisson(λ/2) e E[G | S] = S/2.

Demonstração. E[z^G | S] = (½ + ½z)^S. Logo E[z^G] = G_S(½ + ½z) = e^{λ(½+½z−1)} = e^{(λ/2)(z−1)}. ∎

Consequência. Com λ = θ^FM_h + θ^SV_a, as duas proposições dão a mesma leitura do Modelo 1: os gols do mandante podem ser vistos como a soma de uma parcela Poisson(θ^FM_h/2) “do ataque de h” e outra Poisson(θ^SV_a/2) “da defesa de a”, ou como cada uma das S chances virando gol com probabilidade ½. A média condicional dos gols é W = S/2, exatamente a média das duas Poissons; não é preciso arredondar nada.

4. Modelo 2 — Gamma-Poisson com memória (proposta)

Definição 2. Uma variável θ > 0 tem distribuição Gamma(α, β) (forma α, taxa β) se sua densidade é f(θ) = β^αθ^α−1e^−βθ/Γ(α). Então E[θ] = α/β e Var[θ] = α/β².

Teorema 1 (conjugação). Se θ ∼ Gamma(α, β) e, dado θ, x₁, …, x_n são Poisson(θ) independentes, então θ | x ∼ Gamma(α + s, β + n), com s = Σx_j.

Demonstração. Pelo teorema de Bayes, f(θ | x) ∝ f(θ)·Π_j e^−θθ^x_j ∝ θ^α−1e^−βθ·θ^se^−nθ = θ^α+s−1e^−(β+n)θ, o núcleo da Gamma(α + s, β + n). ∎

Corolário 1 (a fórmula da dissertação é uma média a posteriori). Escrevendo o prior como Gamma(k·m, k), de média m e “peso” k, a média a posteriori é

$$E[\theta \mid x]=\frac{s+km}{n+k}=Z·\overline{x}+(1-Z)·m,Z=\frac{n}{n+k}$$

Com k = 1 e m = média da liga, é a Definição 1. Portanto a Média Poisson já é um modelo bayesiano Gamma-Poisson: a rodada 0 da dissertação é um prior que vale uma rodada, igual para todos os times. O k é o que a literatura chama de tamanho amostral a priori: quantos jogos a informação anterior vale. O fator Z é o fator de credibilidade de Bühlmann (1967): quanto peso dar ao histórico do próprio time contra a média do grupo.

Definição 3 (Modelo 2). Cada uma das quatro taxas de cada time tem prior Gamma(k·m_i, k), em que m_i vem da temporada anterior (seção 6) e k é estimado (seção 7). A atualização é o Teorema 1 rodada a rodada, e os gols do jogo seguem a mesma regra da média do Modelo 1:

$$X\sim \text{Poisson}\left(\frac{E[{\theta }_h^{\mathrm{FM}}\mid \text{dados}]+E[{\theta }_a^{\mathrm{SV}}\mid \text{dados}]}{2}\right)$$

Os dois modelos têm então a mesma estrutura e diferem só no prior: o Modelo 1 é o caso particular k = 1 e m_i = m. A proposta muda duas coisas que a dissertação deixou fixas: quanto vale a informação anterior ao campeonato (k) e de onde ela vem (m_i).

Hipótese de trabalho. Para atualizar θ^FM_h, cada gol de h em casa é tratado como uma observação Poisson(θ^FM_h). Num turno e returno cada time enfrenta todos os outros, então a força média dos adversários é a mesma para todos e θ^FM_h é a taxa de gols de h contra um adversário típico. Trata-se de uma verossimilhança de trabalho, a mesma hipótese implícita na dissertação, e não de um modelo gerador completo. O modelo que trata o adversário explicitamente é o Dixon–Coles (seção 6), usado aqui como referência.

5. A memória: o prior de cada time

Definição 4. Para o time i que estava na mesma série no ano anterior, com taxa bruta r_i (média de 19 jogos) numa das quatro situações,

$$m_i=m+w·(r_i-m),$$

com w_ataque para gols feitos e w_defesa para gols sofridos. Para um time que subiu da divisão de baixo, m_i = ρ·m, com ρ_ataque (gols feitos) e ρ_defesa (gols sofridos). Na Série B há um terceiro caso, o time rebaixado da Série A, com fatores próprios ρ^reb_ataque e ρ^reb_defesa. Sem temporada anterior (2022 na base), todos recebem m com peso fixo de 8,14 jogos.

Justificativa. m_i é o melhor preditor linear da taxa deste ano a partir da do ano anterior: uma regressão à média, no sentido de Galton. Entre temporadas consecutivas (2022→2026, 64 pares de time-temporada), a inclinação dessa regressão vai de 0,25 a 0,52 conforme a taxa. A estimativa conjunta dá w_ataque ≈ 0,89 e w_defesa ≈ 0,69, mas a regra da média divide o efeito de cada taxa por 2, então o efeito líquido no jogo (≈ 0,45 e 0,34) fica dentro da faixa observada. Na Série A, os promovidos começam marcando 17% menos e sofrendo 36% mais que a média. Na Série B a persistência é bem menor (w_ataque ≈ 0,30 e w_defesa ≈ 0,19), porque os elencos mudam muito de um ano para o outro, e os rebaixados da Série A chegam marcando 31% mais e sofrendo 11% menos que a média.

Por que isso importa mais na Série B. A cada ano, 8 dos 20 times da Série B são novos (4 vindos da A e 4 da C). Sem memória, esses times começam iguais à média, mas os que vêm da A costumam estar entre os mais fortes.

6. Modelo 3 — Dixon–Coles (referência da literatura)

É o modelo de referência para placares de futebol (Dixon & Coles, 1997), construído sobre a estrutura multiplicativa de Maher (1982).

Definição 5. Cada time i tem um parâmetro de ataque a_i e um de defesa d_i, e há um parâmetro de mando h. No jogo i (mandante) × j (visitante),

$$\lambda =e^{h+a_i+d_j},\mu =e^{a_j+d_i},P(X=x,Y=y)={\tau }_{\rho }(x,y)·\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}·\frac{e^{-\mu }{\mu }^y}{y!}$$

com τ(0,0) = 1 − λμρ, τ(0,1) = 1 + λρ, τ(1,0) = 1 + μρ, τ(1,1) = 1 − ρ e τ = 1 nos demais placares. O fator τ deixa os gols dos dois times dependentes nos placares baixos; com ρ = 0, volta-se a duas Poissons independentes.

Proposição 3. Para todo ρ com max(−1/λ, −1/μ) ≤ ρ ≤ min(1/(λμ), 1), a função acima é uma distribuição de probabilidade.

Demonstração. Na faixa indicada, os quatro fatores τ são não negativos. Basta ver que a correção não altera a soma das quatro casas: com c = e^−λ−μ, a soma de τ·P em (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1) é c[(1 − λμρ) + λ(1 + μρ) + μ(1 + λρ) + λμ(1 − ρ)] = c(1 + λ + μ + λμ), a mesma soma sem a correção. ∎

Estimação. Os parâmetros maximizam a log-verossimilhança ponderada dos jogos anteriores,

$$\ell =\sum _t{e}^{-\xi ·\text{idade}\left(t\right)}·\text{log}P(x_t,y_t)-\frac{c}{2}\sum _i(a_i^2+d_i^2)$$

em que a idade é medida em dias. O peso e^−ξ·idade é a forma de Dixon e Coles dar mais importância aos jogos recentes, e é ele que permite usar várias temporadas da mesma série (a memória do Dixon–Coles). A penalidade leve (c = 0,1) é necessária porque somar uma constante a todos os ataques e subtraí-la de todas as defesas não muda nenhuma previsão; ela também deixa um time sem jogos na base com força média. A otimização usa L-BFGS-B com gradiente analítico. Para prever os jogos de uma data, o modelo é reajustado com todos os jogos de datas anteriores.

Diferenças em relação aos outros dois. No Dixon–Coles a força do adversário entra explicitamente (estrutura multiplicativa, estimada com todos os jogos ao mesmo tempo), e o histórico entra pelo peso temporal. Nos modelos 1 e 2 cada taxa é uma média de gols do próprio time, e o histórico entra pelo prior.

7. Estimação e validação

Os parâmetros do Modelo 2 (k, w_ataque, w_defesa, ρ_ataque, ρ_defesa e, na Série B, os dois ρ dos rebaixados) maximizam a verossimilhança prequencial dos placares (Dawid, 1984): cada jogo das temporadas 2023 a 2026 é previsto só com os jogos de datas anteriores, e somamos −log P(placar observado). São estimados separadamente para cada série. Num modelo conjugado, esse produto de preditivas um passo à frente é a própria verossimilhança marginal dos dados, então a escolha é um Bayes empírico (máxima verossimilhança tipo II). A otimização é feita pelo método de Nelder–Mead.

No Dixon–Coles, o único hiperparâmetro é o ξ, escolhido pelo mesmo critério numa grade (0 a 0,008 por dia); os demais parâmetros são reestimados a cada data. A Média Poisson não tem nada a estimar (k = 1 e média da liga, como na dissertação).

Para não avaliar os modelos com os mesmos dados que os ajustaram, a aba Avaliação usa validação cruzada por temporada: os parâmetros usados em 2024, por exemplo, são estimados só com 2023, 2025 e 2026. A tabela mostra os valores estimados com todas as temporadas e sem cada uma delas.

8. Simulação do campeonato

Os jogos que faltam são sorteados (Monte Carlo) com as probabilidades do modelo. Nos modelos 1 e 2, depois de cada rodada simulada, as médias são atualizadas com os placares sorteados, como na dissertação; no Modelo 2 isso aproxima sortear as taxas da distribuição a posteriori, porque cada resultado simulado entra no Teorema 1 como um dado. No Dixon–Coles usam-se os parâmetros estimados no momento da simulação. Com a mesma semente, o pacote em Python e este laboratório dão os mesmos números nos modelos 1 e 2 (gerador xoshiro256**).

Dixon–Coles no laboratório. O seletor de modelo também oferece o Dixon–Coles. O ajuste é feito no próprio navegador (L-BFGS com gradiente analítico) com todas as temporadas da mesma série disponíveis até o momento da previsão, e reproduz o ajuste do estudo em Python (diferença máxima de 10⁻⁶ nas médias de gols). Como os arquivos de dados do pacote não trazem datas, no laboratório a idade de cada jogo é aproximada por 7 dias por rodada e 365 dias por temporada; os números da aba Avaliação usam as datas reais.

9. Medidas de avaliação

Para um jogo com probabilidades (p_V, p_E, p_D) e resultado codificado por y (1 no que aconteceu, 0 nos outros):

• Log-loss: −log p_resultado. Pune muito quem dá probabilidade quase zero ao que acontece. Chutar ⅓ dá log 3 ≈ 1,099.
• Brier (medida de DeFinetti usada na dissertação): Σ(p_j − y_j)². Vai de 0 a 2; chutar ⅓ dá 0,667.
• RPS (Epstein, 1969): considera a ordem vitória–empate–derrota, porque errar por um empate é menos grave que errar o vencedor. RPS = ½ Σ_j=1²(P_j − Y_j)², com somas acumuladas. Recomendado para futebol por Constantinou & Fenton (2012).
• Acerto: fração de jogos em que o resultado mais provável aconteceu. É intuitivo mas grosseiro, porque ignora a confiança da previsão.
• −log P(placar): o mesmo que o log-loss, mas para o placar exato.

Log-loss, Brier e RPS são regras de pontuação próprias (Gneiting & Raftery, 2007): em média, ninguém melhora a nota informando probabilidades diferentes das que acredita, então elas premiam previsões honestas. A calibração compara, em faixas de probabilidade prevista, a previsão média com a frequência observada. A decomposição de Murphy (1973) separa o Brier em confiabilidade (erro de calibração, menor é melhor) − resolução (quanto as previsões se afastam da média, maior é melhor) + incerteza (só depende dos resultados). As diferenças entre modelos são pareadas (mesmos jogos), com intervalo de 95% por bootstrap em blocos de rodadas, para respeitar a dependência entre jogos da mesma rodada.

10. Regras de classificação e dados

Desempate (REC 2026): pontos, vitórias, saldo, gols pró e confronto direto (só entre 2 clubes empatados). Cartões não estão nos dados, então na simulação o empate restante vai a sorteio e na tabela real fica em ordem alfabética da sigla.

Vagas da Série A 2026:

• A tabela dá 4 vagas na fase de grupos da Libertadores e 1 na pré. O campeão da Copa do Brasil vai aos grupos e o vice à pré (Art. 6 e §1).
• Campeão da Libertadores ou da Sul-Americana: fica com a vaga da CONMEBOL e a vaga nacional dele volta para a tabela (§2). Quem se classifica pela Copa e pela tabela fica com a vaga melhor (§3 e §4). Se o campeão da Copa já tem vaga, a vaga direta vai ao vice (§5).
• Vagas repassadas seguem a ordem da tabela. A Sul-Americana fica com os 6 mais bem colocados sem Libertadores (Art. 7), e os 4 últimos caem (Art. 8).

Série B: de 2022 a 2025, os 4 primeiros subiam direto. Em 2026, 1º e 2º sobem direto e os playoffs são 3º × 6º e 4º × 5º, em ida e volta, com a volta na casa do melhor colocado; empate no agregado, sobe o melhor colocado. Os 4 últimos caem. O laboratório aplica a regra de cada ano.

Dados:

• Série A 2024 a 2026: PDFs da CBF. A tabela de 2026 foi conferida com a classificação de 29/10/2026 e teve 4 correções.
• Série A 2022 e 2023: base pública Brasileirao_Dataset (Adão Duque, GitHub). As classificações finais conferem com as oficiais, e 2024 bate jogo a jogo com a base da CBF.
• Datas dos jogos da Série A de 2025 e 2026: listas de jogos do site Chance de Gol, cujos placares conferem 100% com a base da CBF. São Paulo × Fluminense (2025, rodada 17), que não está na lista, recebeu a data mediana da rodada.
• Série B 2022 a 2025: súmulas da CBF (base pública BrazilianFootball/Data, via serie-b-analytics); o número do jogo dá a rodada. Seis jogos sem súmula foram completados com as páginas da CBF. Campeões, acessos, rebaixados e pontuações conferem com as classificações oficiais.
• Série B 2026: 35 rodadas de golsstats e futbol24 e rodadas 36 a 38 da tabela da CBF, conferidas com a classificação oficial. Como não há datas nessa base, a ordem dos jogos segue as rodadas.

Referências

• RAMOS, L. F. P. Previsão de resultados do Campeonato Brasileiro de Futebol. Dissertação (PROFMAT), orientação de Ben Deivide de Oliveira Batista, 2019.
• BÜHLMANN, H. Experience rating and credibility. ASTIN Bulletin, 4(3), 199–207, 1967.
• CONSTANTINOU, A. C.; FENTON, N. E. Solving the problem of inadequate scoring rules for assessing probabilistic football forecast models. Journal of Quantitative Analysis in Sports, 8(1), 2012.
• DAWID, A. P. Statistical theory: the prequential approach. Journal of the Royal Statistical Society A, 147(2), 278–292, 1984.
• DIXON, M. J.; COLES, S. G. Modelling association football scores and inefficiencies in the football betting market. Applied Statistics, 46(2), 265–280, 1997.
• EPSTEIN, E. S. A scoring system for probability forecasts of ranked categories. Journal of Applied Meteorology, 8, 985–987, 1969.
• GNEITING, T.; RAFTERY, A. E. Strictly proper scoring rules, prediction, and estimation. Journal of the American Statistical Association, 102, 359–378, 2007.
• MAHER, M. J. Modelling association football scores. Statistica Neerlandica, 36(3), 109–118, 1982.
• MURPHY, A. H. A new vector partition of the probability score. Journal of Applied Meteorology, 12, 595–600, 1973.
• BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Ministério da Educação, 2018.

Código: github.com/bendeivide/jogospc. O laboratório usa a porta em JavaScript do núcleo C++ do pacote, conferida número a número com a versão em Python.

Visão geral

Questão motivadora: “Quem diz que o Palmeiras tem 60% de chance de vencer está certo ou errado se o Palmeiras perder?” A pergunta leva ao centro da probabilidade: uma previsão não erra num jogo isolado, mas pode ser boa ou ruim em muitos jogos.

Habilidades da BNCC

• EM13MAT311 — Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade. aulas 2 e 3
• EM13MAT312 — Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos. aulas 2, 3 e 6
• EM13MAT511 — Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades. aulas 1 e 2
• EM13MAT316 — Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão). aulas 1 e 4
• EM13MAT406 — Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo ou não o uso de softwares que inter-relacionem estatística, geometria e álgebra. aulas 1 e 5
• EM13MAT106 — Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas levando-se em conta os riscos probabilísticos. aula 6

Competências específicas 3 e 5 da área de Matemática e suas Tecnologias (BNCC, 2018).